Contoh Soal dan Penyelesaian Dengan Divide and Conquer

Merge Sort

Merge sort, seperti namanya, merupakan algoritma yang dirancang untuk melakukan pengurutan terhadap sekumpulan bilangan. Ide utama dari merge sort sama dengan algoritma perhitungan total yang telah kita lakukan sebelumnya, yaitu membagi-bagikan keseluruhan list menjadi komponen kecil, dan kemudian mengurutkan komponen tersebut dan menggabungkannya kembali menjadi sebuah list besar.

Berikut adalah merge sort yang diimplementasikan dalam bahasa python:

def merge_sort(lst):
    if len(lst) <= 1:
        return lst

    mid = len(lst) // 2
    left = merge_sort(lst[:mid])
    right = merge_sort(lst[mid:])

    return merge(left, right)

def merge(left, right):
    result = []

    while len(left) > 0 or len(right) > 0:
        if len(left) > 0 and len(right) > 0:
            if left[0] <= right[0]:
                result.append(left.pop(0))
            else:
                result.append(right.pop(0))
        elif len(left) > 0:
            result.append(left.pop(0))
        elif len(right) > 0:
            result.append(right.pop(0))

    return result

Dari kode di atas terlihat bahwa merge sort memiliki dua bagian, yang dituliskan dalam dua buah fungsi: merge dan merge_sort. Fungsi merge_sort memiliki logika dan cara kerja yang sama dengan fungsi penjumlahan total yang kita bangun sebelumnya, dengan perbedaan pada bagian yang melakukan penggabungan list (return merge(left, right)).

Penggabungan list sendiri dilakukan dengan cukup sederhana dan gamblang, yaitu hanya membandingkan elemen-elemen dari dua buah list yang dikirimkan satu per satu, untuk kemudian disimpan ke dalam variabel result secara terurut. Untuk lebih jelasnya, mari kita coba bedah algoritma pada fungsi merge, langkah demi langkah.

Misalkan kita memanggil fungsi merge seperti berikut:

left  = [3, 5]
right = [1, 4]
merge(left, right)

Note

Ingat bahwa list pada variabel left maupun right harus sudah terurut jika ukuran list lebih dari 1. Fungsi merge dengan argumen list berukuran > 1 hanya dipanggil dari hasil merge dua buah list berukuran satu dalam kasus merge_sort.

Jika kita mengikuti langkah demi langkah pada kode, maka pada setiap iterasi while kita akan mendapatkan nilai masing-masing variabel sebagai berikut:

# Awal fungsi
left   = [3, 5]
right  = [1, 4]
result = []

# Iterasi 1
left   = [3, 5]
right  = [4]
result = [1]

# Iterasi 2
left   = [5]
right  = [4]
result = [1, 3]

# Iterasi 3
left   = [5]
right  = []
result = [1, 3, 4]

# Iterasi 4
left   = []
right  = []
result = [1, 3, 4, 5]

Penggabungan seperti di atas dilakukan pada setiap submasalah yang telah dipecah oleh merge_sort, sampai kita mendapatkan sebuah list dengan ukuran yang sama pada list awal. Untuk mempermudah pengertian, gambar di bawah menunjukkan proses pemecahan dan penggabungan kembali dari merge sort:

Langkah Kerja Merge Sort

Proses divide terjadi ketika kotak dan panah berwarna merah, sementara conquer dan combine terjadi ketika kotak dan panah diberi warna biru. Proses conquer merupakan proses di mana kita mengurutkan elemen dalam list, dan combine adalah ketika kita menggabungkan hasil urutan dari list tersebut.

Binary Search

Binary search merupakan salah satu algoritma pencarian yang paling efisien, dengan kompleksitas O(logn). Algoritma ini memanfaatkan teknik divide and conquer dengan memecah lingkup pencarian data menjadi setengahnya pada setiap kali divide. Kekurangan dari binary search yaitu bahwa algoritma ini hanya dapat digunakan pada sebuah data atau lsit yang telah terurut.
Langsung saja, implementasi binary search menggunakan python:

def binary_search(data, search_val, min_idx, max_idx):
    if max_idx < min_idx:
        print("%d not found in list"%search_val)
        return -1

    mid_idx = (min_idx + max_idx) // 2
    if data[mid_idx] > search_val:
        return binary_search(data, search_val, min_idx, mid_idx - 1)
    elif data[mid_idx] < search_val:
        return binary_search(data, search_val, mid_idx + 1, max_idx)
    else:
        print("%d found in index %d"%(search_val, mid_idx))
        return mid_idx

Mari kita lihat cara kerja binary search. Misalkan kita diberikan data berupa list bilangan seperti berikut:

[1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10]

dan diminta untuk mencari letak angka 2 pada list tersebut. Sebelum mulai menjalankan algoritma, pastinya kita harus mengetahui nilai-nilai awal terelbih dahulu. Adapun nilai awal yang dibutuhkan untuk fungsi binary_search adalah sebagai berikut:

data       = [1, 2, 4, 6, 7, 8, 9, 10]
search_val = 2
min_idx    = 0
max_idx    = len(data) - 1 # 7

Nilai indeks minimal (batas awal pencarian) yang pertama tentunya adalah 0, dengan nilai maksimal (batas akhir pencarian) adalah ukuran dari list itu sendiri. Di langkah awal binary search, dilakukan perhitungan terhadap nilai tengah dari min_idx dan max_idx terlebih dahulu, untuk mendapatkan titik awal pencarian. Perhitungan nilai tengah dilakukan pada kode berikut:

mid_idx = (min_idx + max_idx) // 2

Setelah mendapatkan nilai tengah, kita lalu melakukan cek apakah nilai dari data pada indeks tersebut lebih besar atau lebih kecil dibandingkan nilai yang akan kita cari (2). Langkah pengecekan ini dilakukan pada perintah if berikut:

if data[mid_idx] > search_val:
    # nilai lebih besar daripada 2
elif data[mid_idx] < search_val:
    # nilai lebih kecil daripada 2
else:
    # nilai adalah 2 (ditemukan)

Dalam kasus ini, nilai dari mid_idx adalah 3, dan karena data[3] berisi 6, maka kita akan melakukan pemotongan terhadap seluruh nilai pada data setelah 6, karena nilai tersebut sudah pasti tidak diperlukan lagi (ingat, data harus terurut pada binary search). Kita lalu memanggil fungsi binary_search lagi, kali ini dengan mencari hanya pada submasalah (list) berikut (perhatikan bagaimana pada pemanggilan binary_search yang kedua nilai max_idx kita ubah menjadi mid_idx - 1):

[1, 2, 4]

Dan dengan mengaplikasikan logika yang sama dengan tahap sebelumnya, kita akan langsung menemukan bilangan yang dicari.

1. Misalnya diketahui table A yang berukuran n eleman sudah berisi nilai integer. Kita ingin menentukan nilai minimum dan nilai maksimum sekaligus di dalam table tersebut. Misalkan tabel A berisi elemen-elemen sebagai berikut :
Ide dasar algoritma secara Divide and Conquer :

Ukuran table hasil pembagian dapat dibuat cukup kecil sehingga mencari minimum dan maksimum dapat diselesaikan (SOLVE) secara lebih mudah. Dalam hal ini, ukuran kecil yang dipilih adalah 1 elemen atau 2 elemen.

Algoritma MinMaks :

1. Untuk kasus n = 1 atau n = 2,

SOLVE : Jika n = 1, maka min = maks = An. Jika n = 2, maka bandingkan kedua elemen untuk menentukan min dan maks.

2. Untuk kasus n > 2,

• DIVIDE : Bagi dua table A secara rekursif menjadi dua bagian yang berukuran sama, yaitu bagian kiri dan bagian kanan.

•  CONQUER : Terapkan algoritma Divide and Conquer untuk masing-masing bagian, dalam hal ini min dan maks dari table bagian kiri dinyatakan dalam peubah min1 dan maks1, dan min dan maks dari table bagian kanan dinyatakan dalam peubah min2 dan maks2.

• COMBINE : Bandingkan min1 dan min2 untuk menentukan min table A, serta bandingkan maks1 dan maks2 untuk menentukan maks table A.